shuffle(["\\sin\\theta","\\cos\\theta","\\tan\\theta","\\sec\\theta","\\csc\\theta","\\cot\\theta"]).slice(0,3) randFromArray(OPTIONS) random() < 0.5

(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(FUNC) = \; ?
\dfrac{FUNC} {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \; ?

FUNC
  • op

Podemos usar la identidad \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 para simplificar esta expresión.

with(init({range:[[-1.2,1.2],[-1.3,1.3]],scale:130}),KhanUtil.currentGraph)style({stroke:"#ddd",strokeWidth:1,arrows:"->"}),circle([0,0],1),line([-1.2,0],[1.2,0]),line([0,-1.2],[0,1.2]),line([1.2,0],[-1.2,0]),line([0,1.2],[0,-1.2]),style({strokeWidth:2.5,arrows:""}),ang=2*Math.PI/3,line([0,0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:"black"}),label([cos(ang)/2,sin(ang)/2],"1","above right"),line([0,0],[cos(ang),0],{stroke:ORANGE}),label([cos(ang),sin(ang)/2],"\\blue{\\sin\\theta}","left"),line([cos(ang),0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:BLUE}),label([cos(ang)/2,0],"\\orange{\\cos\\theta}","below"),arc([0,0],.2,0,120,{stroke:"black",arrows:"->"}),label([0,.1],"\\theta","above right")

Podemos ver por qué esto es cierto usando el Teorema de Pitágoras.

Así, (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(FUNC) = 1 \cdot FUNC = FUNC

Así, \dfrac{FUNC} {\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = \dfrac{FUNC}{1} = FUNC

random() < 0.5 random() < 0.5 SIN?["1 - \\sin^2\\theta","\\cos^2\\theta"]:["1 - \\cos^2\\theta","\\sin^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV,MULT?"*":"/") MULT?trig.showSimplified(FUNC):trig.showSimplified(FUNC,!0)

(IDENT)(FUNC) = \; ?
\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

Podemos usar la identidad \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 para simplificar esta expresión.

with(init({range:[[-1.2,1.2],[-1.3,1.3]],scale:130}),KhanUtil.currentGraph)style({stroke:"#ddd",strokeWidth:1,arrows:"->"}),circle([0,0],1),line([-1.2,0],[1.2,0]),line([0,-1.2],[0,1.2]),line([1.2,0],[-1.2,0]),line([0,1.2],[0,-1.2]),style({strokeWidth:2.5,arrows:""}),ang=2*Math.PI/3,line([0,0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:"black"}),label([cos(ang)/2,sin(ang)/2],"1","above right"),line([0,0],[cos(ang),0],{stroke:ORANGE}),label([cos(ang),sin(ang)/2],"\\blue{\\sin\\theta}","left"),line([cos(ang),0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:BLUE}),label([cos(ang)/2,0],"\\orange{\\cos\\theta}","below"),arc([0,0],.2,0,120,{stroke:"black",arrows:"->"}),label([0,.1],"\\theta","above right")

Podemos ver por qué esto es cierto usando el Teorema de Pitágoras.

Así, IDENT = EQUIV

Usándolo en nuestra expresión, tenemos

\qquad (IDENT)(FUNC) = (EQUIV)(FUNC)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Para hacer más fácil simplificar, pongamos todo en términos de \sin y \cos. FUNC = FUNC_SIMP, así que podemos usar eso para obtener

\qquad (EQUIV)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC_SIMP}

Esto es ANS.
random() < 0.5 random() < 0.5 TAN?["\\tan^2\\theta + 1","\\sec^2\\theta"]:["\\sec^2\\theta-1","\\tan^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV,MULT?"*":"/") [trig.showSimplified(FUNC,!MULT),trig.showSimplified(EQUIV,!MULT)] trig.showSimplified(ANS)

(IDENT)(FUNC) = \; ?
\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

Podemos obtener una identidad útil de \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 para simplificar esta expresión.

with(init({range:[[-1.2,1.2],[-1.3,1.3]],scale:130}),KhanUtil.currentGraph)style({stroke:"#ddd",strokeWidth:1,arrows:"->"}),circle([0,0],1),line([-1.2,0],[1.2,0]),line([0,-1.2],[0,1.2]),line([1.2,0],[-1.2,0]),line([0,1.2],[0,-1.2]),style({strokeWidth:2.5,arrows:""}),ang=2*Math.PI/3,line([0,0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:"black"}),label([cos(ang)/2,sin(ang)/2],"1","above right"),line([0,0],[cos(ang),0],{stroke:ORANGE}),label([cos(ang),sin(ang)/2],"\\blue{\\sin\\theta}","left"),line([cos(ang),0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:BLUE}),label([cos(ang)/2,0],"\\orange{\\cos\\theta}","below"),arc([0,0],.2,0,120,{stroke:"black",arrows:"->"}),label([0,.1],"\\theta","above right")

Podemos ver por qué esta identidad es cierta usando el Teorema de Pitágoras.

Dividiendo ambos lados entre \cos^2\theta, tenemos

\qquad \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \dfrac{1}{\cos^2\theta}

\qquad \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta

\qquad IDENT = EQUIV

Usándolo en nuestra expresión, tenemos

\qquad (IDENT)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Para hacer más fácil simplificar, pongamos todo en términos de \sin y \cos. Sabemos EQUIV = EQUIV_SIMP y FUNC = FUNC_SIMP, así que podemos sustituir para obtener

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Al simplificar se hacer más fácil, pongamos todo en términos de \sin y\cos. Sabemos EQUIV = EQUIV_SIMP, así que podemos sustituir para obtener

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Esto es ANS_SIMP = ANS.
Esto es ANS.
random() < 0.5 random() < 0.5 COT?["1 + \\cot^2\\theta","\\csc^2\\theta"]:["\\csc^2\\theta-1","\\cot^2\\theta"] trig.getOptionsResult(EQUIV,MULT?"*":"/") [trig.showSimplified(FUNC,!MULT),trig.showSimplified(EQUIV,!MULT)] trig.showSimplified(ANS)

(IDENT)(FUNC) = \; ?
\dfrac{IDENT}{FUNC} = \; ?

ANS
  • op

Podemos obtener una identidad útil de \blue{\sin^2 \theta} + \orange{\cos^2 \theta} = 1 para simplificar esta expresión.

with(init({range:[[-1.2,1.2],[-1.3,1.3]],scale:130}),KhanUtil.currentGraph)style({stroke:"#ddd",strokeWidth:1,arrows:"->"}),circle([0,0],1),line([-1.2,0],[1.2,0]),line([0,-1.2],[0,1.2]),line([1.2,0],[-1.2,0]),line([0,1.2],[0,-1.2]),style({strokeWidth:2.5,arrows:""}),ang=2*Math.PI/3,line([0,0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:"black"}),label([cos(ang)/2,sin(ang)/2],"1","above right"),line([0,0],[cos(ang),0],{stroke:ORANGE}),label([cos(ang),sin(ang)/2],"\\blue{\\sin\\theta}","left"),line([cos(ang),0],[cos(ang),sin(ang)],{stroke:BLUE}),label([cos(ang)/2,0],"\\orange{\\cos\\theta}","below"),arc([0,0],.2,0,120,{stroke:"black",arrows:"->"}),label([0,.1],"\\theta","above right")

Podemos ver por qué esta identidad es cierta usando el Teorema de Pitágoras.

Dividiendo ambos lados entre \sin^2\theta, tenemos

\qquad \dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta}

\qquad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta

\qquad IDENT = EQUIV

Usándolo en nuestra expresión, tenemos

\qquad (IDENT)(FUNC) = \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right)

\qquad \dfrac{IDENT}{FUNC} = \dfrac{EQUIV}{FUNC}

Para hacer más fácil simplificar, pongamos todo en términos de \sin y \cos. Sabemos EQUIV = EQUIV_SIMP y FUNC = FUNC_SIMP, así que podemos sustituir para obtener

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Al simplificar se hacer más fácil, pongamos todo en términos de \sin y\cos. Sabemos EQUIV = EQUIV_SIMP, así que podemos sustituir para obtener

\qquad \left(EQUIV\right) \left(FUNC\right) = \left(EQUIV_SIMP\right) \left(FUNC_SIMP\right)

\qquad \dfrac{EQUIV}{FUNC} = \dfrac{EQUIV_SIMP}{FUNC_SIMP}

Esto es ANS_SIMP = ANS.
Esto es ANS.