f(x) = \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }
¿Qué es el dominio de una función real f(x)?
CHOICES["two-denom-simplify"]
cf(x) no está definida cuando el denominador es 0.
El denominador es 0 cuando x=(-1*A) o x=B.
Así que sabemos que x \neq -1*A y x \neq B.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["two-denom-simplify"].
f(x)= \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) } & \text{IF } x \neq B \\ C & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond"]
cf(x) es una función por partes, así que debemos examinar en dónde no está definida cada parte.
La primera definición por trozos de f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - B ) }, no está definida cuando el denominador es 0.
El denominador es 0 cuando x=-1*A o x=B.
Así, basados en la primera definición por partes, sabemos que x \neq -1*A y x \neq B.
Sin embargo, la segunda definición por partes aplica cuando x = B, y la segunda definición por partes, C, no tiene agujeros o lagunas raras, así f(x) está definida en x = B.
Así que la única restricción en el dominio es que x \neq -1*A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["two-denom-cond"].
f(x) = \sqrt{ x - A }
CHOICES.sqrt
cf(x) no está definida cuando el radicando (la expresión debajo del radical) es menor a cero.
Así que el radicando, x - A, debe ser mayor o igual a cero.
Entonces x - A \geq 0; lo que quiere decir que x \geq A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES.sqrt.
f(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["inverse-sqrt"]
cEn primer lugar, debemos considerar que f(x) no está definida cuando el radicando (la expresión bajo el símbolo de radical) es menor que cero.
Así que el radicando, x - A, debe ser mayor o igual a cero.
Entonces x - A \geq 0; lo que quiere decir que x \geq A.
A continuación, también necesitamos considerar que f(x) no está definida cuando el denominador, \sqrt{ x - A }, es cero.
Así \sqrt{ x - A } \neq 0.
\sqrt{ z } = 0 únicamente cuando z = 0, así que \sqrt{ x - A } \neq 0 quiere decir que x - A \neq 0.
Entonces x \neq A.
Así que tenemos dos restricciones: x \geq A y x \neq A.
Combinando estas dos restricciones, simplemente nos queda x > A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["inverse-sqrt"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } } & \text{IF } x \geq A \\ \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } } & \text{IF } x < A \end{cases}
CHOICES["inverse-sqrt-cond"]
cf(x) es una función por partes, así que debemos examinar en dónde no está definida cada parte.
La primera definición por trozos de f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ x - A } }, no está definida cuando el denominador es cero y donde el radicando (la expresión dentro de la raíz) es menor que cero.
El denominador, \sqrt{ x - A }, es cero cuando x - A = 0, entonces sabemos que x \neq A.
El radicando, x - A, es menor que cero cuando x < A, entonces sabemos que x \geq A.
Así, la primera definición por partes de f(x) está definida cuando x \neq A y x \geq A. Combinando estas dos restricciones, la primera definición por partes está definida cuando x > A. La primera definición por partes aplica cuando x \geq A, así que la restricción es irrelevante.
La segunda definición por trozos de f(x), \frac{ 1 }{ \sqrt{ A - x } }, aplica cuando x < A y no está definida donde el denominador es cero y donde el radical es menor que cero.
El denominador, \sqrt{ A - x }, es cero cuando A - x = 0, entonces sabemos que x \neq A.
El radicando, A - x, es menor que cero cuando x > A, entonces sabemos que x \leq A.
Así, la segunda definición de f(x) está definida cuando x \neq A y x \leq A. Combinando estas dos restricciones, la segunda definición por partes está definida cuando x < A. Sin embargo, la segunda definición por partes de f(x) sólo aplica cuando x < A, así que la restricción en realidad no es relevante al dominio de f(x).
Así, la primera definición por partes está definida cuando x > A y aplica cuando x \geq A; la segunda definición por partes está definida cuando x < A y aplica cuando x < A. Juntando las restricciones de estas dos, el único lugar donde la definición aplica y el valor no está definido es en x = A. Así que la única restricción de el dominio de f(x) es x \neq A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["inverse-sqrt-cond"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ A+B - x } }{ \sqrt{ x - A } }
CHOICES["sqrt-frac"]
cEn primer lugar, debemos considerar que f(x) no está definida donde el radical no está definido, que es donde el radicando (la expresión bajo el símbolo de radical) es menor que cero.
El radical superior no está definido donde A+B - x < 0.
El radical de arriba no está definido cuando x > A+B, entonces sabemos que x \leq A+B.
El radical de la parte inferior no está definido cuando x - A < 0.
Entonces, el radical de abajo no está definido cuando x < A, así que sabemos que x \geq A.
A continuación, necesitamos considerar que eso f(x) no está definida cuando el denominador, \sqrt{ x - A }, es cero.
Así \sqrt{ x - A } \neq 0, entonces x - A \neq 0 entonces x \neq A.
Así que tenemos tres restricciones: x \leq A+B, x \geq A, y x \neq A.
Combinando estas tres restricciones, sabemos que A < x \leq A+B.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["sqrt-frac"].
f(x) = \begin{cases} \dfrac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) } & \text{IF } x \neq B \\ A & \text{IF } x = B \end{cases}
CHOICES["two-denom-cond-weird"]
cf(x) es una función por partes, así que debemos examinar en dónde no está definida cada parte.
La primera definición por trozos de f(x), \frac{ x + A }{ ( x + A )( x - C ) }, no está definida donde el denominador es cero.
El denominador, (x + A)(x - C), es cero cuando x = -1*A o x = C.
Así, la primera definición por partes de f(x) está definida cuando x \neq -1*A y x \neq C. La primera definición por partes aplica cuando x = -1*A y x = C, así que estas restricciones son relevantes al dominio de f(x).
La segunda definición a trozos de f(x), A, es una función de una simple línea horizontal y no tiene agujeros o boquetes de que preocuparse, así que está definida en todas partes.
Así, la primera definición por partes está definida cuando x \neq -1*A y x \neq C y aplica cuando x \neq B; la segunda definición por partes está definida siempre y aplica cuando x = B. Juntando las restricciones de estas dos, el único lugar donde una definicion aplica y está indefinida es en x = -1*A and x = C. Así que la restricción del dominio de f(x) es que x \neq -1*A y x \neq C.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["two-denom-cond-weird"].
f(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B }
CHOICES["sqrt-poly-frac"]
cf(x) = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ x^2 + A+B x + A*B } = \dfrac{ \sqrt{ x - C } }{ ( x + A )( x + B ) }
En primer lugar, debemos considerar que f(x) no está definida donde el radical no está definido, así que el radicando (la expresión bajo el símbolo de radical) no puede ser menor que cero.
Entonces x - C \geq 0, lo que quiere decir x \geq C.
A continuación, también necesitamos considerar que f(x) no está definida cuando el denominador es cero.
Entonces x \neq -1*A y x \neq -1*B.
Sin embargo, estas dos últimas restricciones son irrelevantes pues C > -1*A y C > -1*B y así x \geq C asegura que x \neq -1*A y x \neq -1*B.
Combinando estas restricciones simplemente nos resta x \geq C.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["sqrt-poly-frac"].
f(x) = \sqrt{ A - \lvert x \rvert }
CHOICES["sqrt-abs"]
cf(x) no está definida cuando el radicando (la expresión debajo del radical) es menor a cero.
Así que sabemos que A - \lvert x \rvert \geq 0.
Entonces \lvert x \rvert \leq A.
Esto significa x \leq A y x \geq -1*A; o, equivalentemente, -1*A \leq x \leq A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["sqrt-abs"].
f(x) = \dfrac{ B }{ \sqrt{ A - \lvert x \rvert } }
CHOICES["inverse-sqrt-abs"]
cEn primer lugar, debemos considerar que f(x) no está definida donde el radicando (la expresión bajo el símbolo de radical) es menor que cero.
Así que sabemos que A - \lvert x \rvert \geq 0.
Esto significa que \lvert x \rvert \leq A, lo que significa que -1*A \leq x \leq A.
A continuación, también necesitamos considerar que f(x) no está definida cuando el denominador es cero.
Así que sabemos que \sqrt{ A - \lvert x \rvert } \neq 0, entonces \lvert x \rvert \neq A.
Esto significa que x \neq A y x \neq -1*A.
Entonces, tenemos cuatro restricciones: x \geq -1*A, x \leq A, x \neq -1*A, y x \neq A.
Combinando estas cuatro sabemos que x > -1*A y x < A; alternativamente, que -1*A < x < A.
Expresándolo en notación matemática, el dominio es CHOICES["inverse-sqrt-abs"].