person(1) está empacando maletas para sus vacaciones. Él tiene NUM_THINGS plural_form(THING, NUM_THINGS) únicos, pero sólo NUM_TAKEN caben en la maleta.
person(1) está empacando sus maletas para sus vacaciones. Ella tiene NUM_THINGS plural_form(THING, NUM_THINGS) únicos, pero sólo NUM_TAKEN caben en su maleta.
¿Cuántos grupos diferentes de NUM_TAKEN plural_form(THING, NUM_TAKEN) puede llevar?
¿Cuántos grupos diferentes de NUM_TAKEN plural_form(THING, NUM_TAKEN) puede llevar?
ANSWER
person(1) tiene NUM_TAKEN espacios para su plural_form(THING), así que llenémoslos uno por uno. Al inicio, person(1) tiene NUM_THINGS opciones para qué poner en el primer espacio.
person(1) tiene NUM_TAKEN espacios para sus plural_form(THING), así es que llenémoslos uno por uno. Al principio, person(1) tiene NUM_THINGS opciones para escoger qué poner en el primer espacio.
Para el segundo espacio, sólo tiene NUM_THINGS-1 plural_form(THING, NUM_THINGS-1), por lo que sólo hay NUM_THINGS-1 opciones de que poner en el segundo lugar. Hasta ahorita, parece que hay NUM_THINGS \cdot NUM_THINGS-1 = NUM_THINGS * (NUM_THINGS-1) opciones diferentes que person(1) pudo haber escogido para llenar los primeros dos espacios de su mochila. Pero eso no es precisamente correcto.
Para el segundo espacio, sólo tiene NUM_THINGS-1 plural_form(THING, NUM_THINGS-1), por lo que sólo hay NUM_THINGS-1 opciones de que poner en el segundo lugar. Hasta ahorita, parece que hay NUM_THINGS \cdot NUM_THINGS-1 = NUM_THINGS * (NUM_THINGS-1) opciones diferentes que person(1) pudo haber escogido para llenar los primeros dos espacios de su mochila. Pero eso no es precisamente correcto.
¿Por qué? Porque si eligió la THING número 3, después la THING número 1, es la misma situación que elegir la número 1 y después la número 3. Ambas terminan en la misma maleta.
¿Por qué? Porque si eligió la THING número 3, después la THING número 1, es la misma situación que elegir la número 1 y después la número 3. Ambas terminan en la misma maleta.
Entonces, si person(1) siguen llenando los espacios de su mochila, tomando _.map(_.range(NUM_TAKEN), function(l){ return (NUM_THINGS - l);}).join("\\cdot") = \dfrac{NUM_THINGS!}{(NUM_THINGS-NUM_TAKEN)!} = factorial(NUM_THINGS)/factorial(NUM_THINGS-NUM_TAKEN) deciciones, hemos contado muchas veces a un montón de grupos.
Entonces, si person(1) sigue llenando los espacios en su mochila, tomando _.map(_.range(NUM_TAKEN), function(l){ return (NUM_THINGS - l);}).join("\\cdot") = \dfrac{NUM_THINGS!}{(NUM_THINGS-NUM_TAKEN)!} = factorial(NUM_THINGS)/factorial(NUM_THINGS-NUM_TAKEN) decisiones en total, hemos contado de más a un bonche de grupos.
¿Cuántos hemos contado de más? Bueno, a cada grupo de NUM_TAKEN, los hemos contado como si el orden con el que los escogimos importara, cuando en realidad no importa. Así es que la cantidad de veces que hemos contado de más a cada grupo es la cantidad de formas que hay de ordenar NUM_TAKEN cosas.
Existen NUM_TAKEN! = factorial(NUM_TAKEN) maneras de ordenar NUM_TAKEN cosas, por lo que hemos contado cada grupo de NUM_TAKEN plural_form(THING, NUM_TAKEN) factorial(NUM_TAKEN) veces.
Entonces, hemos dividido el número de formas que podemos llenar la maleta en orden, por el número de veces que hemos contado de más nuestros grupos.
\dfrac{NUM_THINGS!}{(NUM_THINGS - NUM_TAKEN)!} \cdot \dfrac{1}{NUM_TAKEN!} es el número de grupos que plural_form(THING) person(1) puede traer.
Otra manera de escribir ésto es \binom{NUM_THINGS}{NUM_TAKEN} , or NUM_THINGS choose NUM_TAKEN, which is ANSWER.
Acabas de obtener un boleto gratuito para un paseo en bote, ¡y puedes llevar contigo a SLOTS amigos! Desafortunadamente, tienes FRIENDS amigos que quieren acompañarte.
¿Cuántos grupos diferentes de amigos puedes llevar contigo?
ANSWER
Hay SLOTS lugares para tus amigos en el barco, así es que llenemos esos lugares uno por uno. Para el primer lugar, tenemos FRIENDS posibles opciones (porque FRIENDS distintos amigos se podrían sentar en ese lugar).
Una vez que hemos llenado la primera vacante, hay FRIENDS-1 amigos que pueden llenar la segunda. Hasta ahora, hemos llenado las primeras dos vacantes y parece ser que hay FRIENDS \cdot FRIENDS-1 = FRIENDS * ( FRIENDS-1) opciones diferentes que pudimos haber hecho. Pero eso no es del todo cierto.
¿Por qué? porque si eligió a person(1), después a person(2), es lo mismo que elegir a person(2) y después a person(1). Ambas terminan estando en el mismo bote.
Entonces, si continuamos llenando los lugares en nuestro bote, haciendo _.map(_.range(SLOTS), function(l){ return (FRIENDS - l);}).join("\\cdot") = \dfrac{FRIENDS!}{FRIENDS-SLOTS!} = factorial(FRIENDS)/factorial(FRIENDS-SLOTS) decisiones simultáneas, habremos contado de más a muchos grupos.
¿Qué tanto hemos contado de más? Bien, por cado grupo de SLOTS, los hemos contado como si el orden en que los elegimos importara, cuando en realidad no importa. Así que el número de veces que hemos contado de más cada grupo es el número de maneras de ordenar SLOTS cosas.
Hay SLOTS! = factorial(SLOTS) formas de ordenar SLOTS cosas, así es que hemos contado a cada grupo SLOTS friends factorial(SLOTS) veces.
Entonces, tendremos que dividir el número de maneras que podemos llenar el bote, en orden del número de veces que hemos contado de más nuestros grupos: \dfrac{FRIENDS!}{FRIENDS-SLOTS!} \cdot \dfrac{1}{SLOTS!} es el número de grupos que podemos traer en el paseo en bote.
Otra manera de escribir esto es \binom{FRIENDS}{SLOTS} , ó FRIENDS elegir SLOTS, que es ANSWER.